창동 수학학원 황쌤수학학원 Day 5
중1 소인수분해 | 공약수와 최대공약수의 성질
핵심 개념
공약수는 두 개 이상의 수에 공통으로 존재하는 약수를 의미합니다. 최대공약수는 이 공약수들 중 가장 큰 수를 말합니다. 예를 들어, 12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6이며, 최대공약수는 6입니다.
공약수와 최대공약수의 개념은 수의 관계를 이해하는 데 중요합니다. 특히, 분수의 약분이나 여러 수의 배수 관계를 파악하는 데 유용하게 사용됩니다.
이 개념은 소인수분해와 밀접한 관련이 있습니다. 소인수분해를 통해 각 수의 소인수를 구하고, 이를 바탕으로 공약수와 최대공약수를 쉽게 찾을 수 있습니다.
공식과 성질
기본 공식: 최대공약수(GCD) 구하기
두 수의 최대공약수를 구하기 위해서는 각 수를 소인수분해한 후, 공통으로 존재하는 소인수의 지수 중 가장 작은 값을 선택하여 곱합니다. 예를 들어, 12 = 22 × 3, 18 = 2 × 32이므로 최대공약수는 21 × 31 = 6입니다.
응용 공식: 유클리드 호제법
유클리드 호제법은 두 수의 최대공약수를 구하는 효율적인 방법입니다. 두 수 a와 b에 대해 a를 b로 나눈 나머지를 r이라 할 때, GCD(a, b) = GCD(b, r)입니다. 이 과정을 나머지가 0이 될 때까지 반복합니다.
단계별 예시
기초 단계
예시 1 – 가장 기본
12와 18의 최대공약수를 구하세요.
→ 풀이: 12 = 22 × 3, 18 = 2 × 32이므로 공통 소인수는 2와 3입니다. 따라서 최대공약수는 21 × 31 = 6입니다.
예시 2 – 기초 응용
24와 36의 최대공약수를 구하세요.
→ 풀이: 24 = 23 × 3, 36 = 22 × 32이므로 공통 소인수는 2와 3입니다. 최대공약수는 22 × 31 = 12입니다.
중급 단계
예시 3 – 복합 문제
48과 60의 최대공약수를 구하세요.
→ 풀이: 48 = 24 × 3, 60 = 22 × 3 × 5이므로 공통 소인수는 2와 3입니다. 최대공약수는 22 × 31 = 12입니다.
예시 4 – 응용 유형
72와 120의 최대공약수를 구하세요.
→ 풀이: 72 = 23 × 32, 120 = 23 × 3 × 5이므로 공통 소인수는 2와 3입니다. 최대공약수는 23 × 31 = 24입니다.
심화 단계
예시 5 – 고난도 문제
84와 126의 최대공약수를 구하세요.
→ 풀이: 84 = 22 × 3 × 7, 126 = 2 × 32 × 7이므로 공통 소인수는 2, 3, 7입니다. 최대공약수는 21 × 31 × 7 = 42입니다.
시험 대비 핵심
반드시 기억할 것
- 핵심 포인트 1 – 소인수분해를 통해 공통 소인수를 찾기
- 핵심 포인트 2 – 유클리드 호제법을 활용한 빠른 계산
- 핵심 포인트 3 – 최대공약수의 활용: 약분과 배수 관계
- 핵심 포인트 4 – 실수 방지: 소인수의 지수 선택 주의
- 핵심 포인트 5 – 문제 풀이 시 단계별 접근
실수 주의!
실수 1: 소인수분해 시 소인수를 놓치는 경우
실수 2: 유클리드 호제법 사용 시 나머지 계산 오류
실수 3: 최대공약수 계산 후 약분 실수
학습 팁
효과적인 학습 방법은 소인수분해를 철저히 연습하는 것입니다. 이를 통해 공약수와 최대공약수를 빠르게 찾을 수 있습니다.
연습 문제를 통해 다양한 유형의 문제를 경험하고, 유클리드 호제법을 활용하여 계산 속도를 높이는 것이 중요합니다.