창동 수학학원 황쌤수학학원 Day 6
중1 소인수분해 | 서로소의 정의와 판별
핵심 개념
서로소란 두 자연수의 최대공약수가 1인 경우를 말합니다. 즉, 두 수가 공통으로 가지는 약수가 1밖에 없는 경우입니다. 예를 들어, 8과 15는 서로소입니다. 왜냐하면 두 수의 공통 약수가 1밖에 없기 때문입니다.
서로소 개념은 수학에서 중요한 이유는 두 수가 서로소일 때, 특정 수학적 성질을 활용할 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 서로소인 두 수의 곱은 소수의 분해에서 유리하게 작용합니다.
서로소 개념은 소인수분해와 밀접한 관련이 있습니다. 소인수분해를 통해 두 수의 소인수를 비교하여 서로소 여부를 쉽게 판별할 수 있습니다.
공식과 성질
기본 공식: 최대공약수(a, b) = 1
두 수 a와 b가 서로소라는 것은 최대공약수(GCD)가 1이라는 것을 의미합니다. 이를 통해 두 수가 공통으로 가지는 약수가 1밖에 없음을 알 수 있습니다.
응용 공식: a와 b가 서로소일 때, a × b의 소인수는 a와 b의 소인수의 합집합
서로소인 두 수 a와 b를 곱하면, 그 결과의 소인수는 a와 b 각각의 소인수의 합집합이 됩니다. 이는 소인수분해를 통해 쉽게 확인할 수 있습니다.
단계별 예시
기초 단계
예시 1 – 가장 기본
두 수 9와 28이 서로소인지 확인하세요.
→ 풀이: 9의 약수는 1, 3, 9이고, 28의 약수는 1, 2, 4, 7, 14, 28입니다. 공통 약수는 1뿐이므로, 두 수는 서로소입니다.
예시 2 – 기초 응용
두 수 12와 25가 서로소인지 확인하세요.
→ 풀이: 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고, 25의 약수는 1, 5, 25입니다. 공통 약수는 1뿐이므로, 두 수는 서로소입니다.
중급 단계
예시 3 – 복합 문제
두 수 14와 15가 서로소인지 확인하고, 그 곱의 소인수를 구하세요.
→ 풀이: 14의 약수는 1, 2, 7, 14이고, 15의 약수는 1, 3, 5, 15입니다. 공통 약수는 1뿐이므로, 두 수는 서로소입니다. 14 × 15 = 210의 소인수는 2, 3, 5, 7입니다.
예시 4 – 응용 유형
두 수 21과 22가 서로소인지 확인하고, 그 곱의 소인수를 구하세요.
→ 풀이: 21의 약수는 1, 3, 7, 21이고, 22의 약수는 1, 2, 11, 22입니다. 공통 약수는 1뿐이므로, 두 수는 서로소입니다. 21 × 22 = 462의 소인수는 2, 3, 7, 11입니다.
심화 단계
예시 5 – 고난도 문제
두 수 35와 64가 서로소인지 확인하고, 그 곱의 소인수를 구하세요.
→ 풀이: 35의 약수는 1, 5, 7, 35이고, 64의 약수는 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64입니다. 공통 약수는 1뿐이므로, 두 수는 서로소입니다. 35 × 64 = 2240의 소인수는 2, 5, 7입니다.
시험 대비 핵심
반드시 기억할 것
- 핵심 포인트 1 – 서로소는 최대공약수가 1인 두 수
- 핵심 포인트 2 – 소인수분해로 쉽게 판별 가능
- 핵심 포인트 3 – 서로소인 두 수의 곱의 소인수는 두 수의 소인수의 합집합
- 핵심 포인트 4 – 서로소는 수학적 문제 해결에 유리
- 핵심 포인트 5 – 다양한 문제 유형에 적용 가능
실수 주의!
실수 1: 두 수의 최대공약수를 잘못 계산하는 경우
실수 2: 소인수분해를 정확히 하지 않는 경우
실수 3: 서로소 여부를 판단할 때 공통 약수를 놓치는 경우
학습 팁
서로소 개념을 이해하기 위해 다양한 예제를 풀어보세요. 소인수분해를 통해 서로소 여부를 쉽게 판단할 수 있습니다.
연습 문제를 통해 최대공약수 계산 능력을 향상시키세요. 이는 서로소 판별에 큰 도움이 됩니다.